Cosmologia – parte 3ᵃ – Keplero

Le tre leggi di Keplero

A cura di Marco Massa, presidente dell’Associazione Astrofili Sardi

Il tedesco Giovanni Keplero (Johanes Kepler), insigne umanista, professore di matematica e assistente di Tycho Brahe, fu uno degli astronomi decisivi per l’affermazione del modello copernicano. Partendo da una concezione teologica dell’universo, nel quale vedeva il Sole come una personificazione di Dio padre, Keplero ribadisce la teoria eliocentrica, sostituendo forze fisiche alle intelligenze motrici ed elaborando le leggi che spiegano l’orbita ellittica dei pianeti intorno al sole. Con Keplero si fa strada quella concezione matematica dell’universo propugnata poi da Galilei, secondo la quale la realtà oggettiva del mondo sarebbe data dalle proporzioni matematiche delle cose.

La giovinezza di Keplero
Keplero entrò a far parte della scuola elementare di Leoberg a sette anni nel 1578; successivamente nel 1584 entrò alla scuola di Grammatica di Adelberg, nel 1586 al seminario di Maulbronn e il 3 Settembre del 1589 si iscrisse ai corsi dell’Università di Tubinga per divenire “Magister Artium”. Due anni dopo, insieme al titolo, ottenne il diritto di studiare teologia e sarebbe diventato pastore luterano dottore in teologia se nel 1593, anno della morte di Georg Stadius, titolare della cattedra di Matematica a Graz, capitale della Stiria, le autorità accademiche non lo avessero chiamato a sostituire il matematico Stadius. Keplero, che si era distinto durante i suoi studi universitari proprio per la sua abilità in matematica, quando gli fu comunicata la scelta ne fu entusiasta e partì subito per Graz, ove tenne la prima lezione il 24 Giugno del 1594. Il suo primo compenso fu, però, di soli 200 fiorini, con l’aggiunta di 20 fiorini per la formulazione di un calendario corredato di previsioni astrologiche per l’anno seguente. Occorre dire che la Matematica allora non era considerata una disciplina fondamentale tra le Scienze, le quali erano considerate campo di competenze dei filosofi della Natura; essere docente di Matematica significava, oltre che insegnare gli elementi allora noti (la Geometria euclidea piana e solida, l’Aritmetica ed un po’ di Algebra) era anche occuparsi di Astronomia e Astrologia, nonché di aspetti cabalistici del linguaggio dei numeri e delle forme geometriche. Lo stipendio di Keplero dunque era misero e non gli bastava per vivere; per questo egli si convinse che il modo migliore per integrarlo era formulare oroscopi e previsioni astrologiche, attività molto redditizia in un’epoca dominata dall’ignoranza e dalla superstizione.

Il “Mysterium Cosmograficum”
L’insegnamento che Keplero aveva avuto a Tubinga nel campo dell’Astronomia da parte di Michael Maestlin lo avevano convinto della veridicità dell’ipotesi di Copernico. La motivazione di Keplero all’indagine cosmologica era però di natura mistica; egli era convinto che attraverso di essa fosse possibile trovare una chiave geometrica dell’ordine cosmico, in particolare con lo studio del moto dei pianeti, proseguendo una linea tracciata nell’antichità da Pitagora e Platone. Da questa idea nacque il suo primo trattato di cosmologia: il “Mysterium Cosmograficum”. In tutti i suoi scritti, a partire dal Mysterium, Keplero riportò tutto il suo percorso di studio e di ricerca, compresi gli errori, e questo rende le sue opere di grande interesse storico. E’ questo in effetti il principale motivo di interesse che si può trovare nel Mysterium, dato lo scarso valore scientifico del suo contenuto. Keplero infatti in esso voleva dimostrare che l’Universo era espressione della Gloria Divina e che le tre entità immobili dell’Universo (il Sole, le stelle fisse e lo spazio che li separa) erano in armonia con il mistero della Santissima Trinità, il quale naturalmente, essendo un mistero, come tale non poteva essere rivelato.

L’incontro con Tycho
Quando Tycho incontrò Keplero, il suo gruppo di ricerca a Praga era alle prese con il grosso problema di trovare una descrizione credibile del moto di Marte: oggi sappiamo che Marte ha un’orbita particolarmente eccentrica, e questo spiega perché all’epoca neanche le previsioni basate sul modello copernicano (che prevedeva per i pianeti orbite circolari) erano confermate dalle osservazioni. Tycho assegnò a Keplero, fin dai primi tempi in cui cominciò a far parte dei suoi collaboratori, il compito di studiare il moto di Marte, di cui fino ad allora si era occupato Christen Soerensen con scarso successo. Prima di morire (nell’ottobre 1601) Tycho cercò in ogni modo di convincere Keplero a dedicarsi con il massimo impegno alle osservazioni, e a tentare di dimostrare attraverso di esse la validità del modello cosmologico in cui credeva. Keplero iniziò ad analizzare con molto rigore i dati posizionali di Marte, cominciando a individuare le opposizioni successive di Marte (si avvalse in ciò di dati raccolti in diverse tavole astronomiche, e soprattutto delle osservazioni di Tycho a Praga) per ricavare dai loro tempi e dalle loro posizioni sullo zodiaco, indicazioni sull’orbita. Ma ben presto comprese che non avrebbe potuto ottenere risultati soddisfacenti se non fosse riuscito prima a trovare un modello valido per il moto della Terra intorno al Sole. Così cercò di trovare tre posizioni di Marte nel cielo corrispondenti ad istanti nei quali esso si trovava nello stesso punto dell’orbita, avendo dedotto che in tal modo sarebbe stato possibile individuare con certezza l’orbita della Terra per via geometrica e trigonometrica, verificando poi il modello ottenuto con osservazioni ulteriori. Per Keplero il Sole era responsabile della forza che guidava i pianeti nel loro moto intorno ad esso, ma le forze agenti su di essi erano direttamente proporzionali alle rispettive velocità. E tuttavia anche questa affermazione non corretta contribuì a metterlo sulla strada giusta nella formulazione delle sue leggi del moto dei pianeti. Dall’esame del moto di Marte e dai suoi studi sul moto della Terra intorno al Sole, aveva tratto una relazione di proporzionalità inversa tra la velocità dei due pianeti e la loro distanza dal Sole, verificate all’apogeo e al perigeo. Supponendo che la forza agente sul pianeta fosse direttamente proporzionale alla velocità, Keplero ne ricavò una legge errata, secondo la quale la forza gravitazionale agente sui pianeti era inversamente proporzionale alla distanza (diversa da quella che poi Newton avrebbe ricavato). Tuttavia il suggerimento della relazione esistente tra velocità e distanza fu prezioso per i successivi sviluppi della teoria del moto di Marte, ed altrettanto determinante fu lo stato d’animo di Keplero, ormai pessimista, dopo due anni di calcoli, sulle possibilità di poter attribuire a Marte un’orbita circolare. Così Keplero cominciò a cercare di deformare la traiettoria utilizzando epicicli che ne producessero una ovalizzazione; gli esiti negativi ottenuti lo convinsero a provare se fosse possibile ottenere migliori risultati ipotizzando la forma ellittica per l’orbita di Marte: i risultati furono allora sorprendentemente i migliori tra tutti quelli precedenti.

Astronomia nova e le prime due leggi di Keplero
Nel trattato “Astronomia nova”, pubblicato nel 1609, Keplero pubblicò i suoi risultati ottenuti per l’orbita di Marte, estendendo poi a tutto il sistema solare il modello di orbita ellittica con velocità dipendente dalla distanza dal pianeta. Le conclusioni di Keplero sono oggi valide con un buon grado di approssimazione e sono tuttora studiate come le prime due leggi di Keplero:

(I) le orbite dei pianeti sono ellittiche ed il Sole occupa uno dei due fuochi di ogni ellisse

                  

(II) la velocità areolare, cioè l’area descritta dal raggio-vettore che collega il Sole ad un pianeta nell’unità di tempo, è costante. In altre parole, poiché una qualsiasi area descritta dal raggio-vettore del pianeta è proporzionale al prodotto della distanza per la lunghezza dell’arco, all’aumentare della distanza diminuisce l’arco percorso in uno stesso tempo, quindi diminuisce la velocità del pianeta (nella figura sottostante i raggi vettori sono i segmenti SP e SP’ e gli archi descritti dal pianeta sono gli archi di ellisse PP’, mentre le aree descritte dal raggio vettore durante il moto del pianeta in uno stesso intervallo di tempo, sono quelle riempite).

In base alla seconda legge la velocità di un pianeta al perielio, è dunque superiore a quella all’afelio.

“Harmonices Mundi” e la terza legge di Keplero

La ricerca di un ordine matematico dell’Universo come espressione divina lo portò nel 1619 a realizzare l’opera “Harmonices mundi”: in essa Keplero giunse finalmente a definire quella legge matematica che doveva descrivere i moti dei pianeti intorno al Sole e che aveva cercato lungamente. Essa è oggi nota come la terza legge di Keplero:

(III) i cubi dei semiassi maggiori di ogni pianeta sono direttamente proporzionali ai rispettivi periodi di rivoluzione

                                                                                                                     A3 
                                                                                                              ————— = k
                                                                                                                     T2

                                                                                 dove k è la cosiddetta “costante di Keplero”.

Negli anni seguenti Keplero ultimò il trattato “Epitome astronomiae copernicanae”, un ampio saggio scientifico che, oltre a fare il punto delle conoscenze astronomiche dell’epoca,  offriva agli studenti universitari un testo completo e approfondito, e pubblicò successivamente (1624) le “Tabulae Rudolphine”, contenenti le previsioni astronomiche sul moto dei pianeti dedotte in base alle sue nuove leggi.

Conclusioni
Keplero, dal punto di vista cosmologico, arriva a dimostrare l’infondatezza del dogma, di ascendenza platonica, di moti perenni perfettamente circolari, nonché la solidità cristallina delle sfere celesti, a partire dalla convinzione di poter spiegare matematicamente il mistero della creazione divina del mondo, e dalla convinzione che la dimensione delle orbite planetarie fosse da mettere in relazione con i rapporti che intercorrono tra i 5 solidi regolari del Timeo di Platone. Nonostante la venerazione per il Sole, che derivava dalla tradizione pitagorica e dalle teologie solari del Rinascimento, egli considera un “mondo immobile” (Sole, stelle fisse, spazio intermedio) e un mondo mobile (i pianeti, compresa la Terra). L’unità e l’omogeneità del “mondo mobile” costituisce la premessa per una considerazione unitaria di una sola fisica planetaria dove il cosmo kepleriano non è solo una costruzione matematica, ma ha l’ambizione di indagare la cause fisiche dei moti planetari, che vengono attribuite a una forza motrice di tipo magnetico insita nel Sole.

Vulcano n° 96

 

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